sınavbankası.com sinavbankasi.org forum.sinavbankasi.org
Merhaba. Bilgi, paylaşım ve ekip ruhu taşıyanların buluşma noktasına hoş geldiniz. Üye iseniz kullanıcı adınız ve şifrenizle foruma giriniz. Eğer üye değilseniz forumu daha ayrıntılı ve sorunsuz kullanabilmek için lütfen rahatsız edici ve abartılı olmayan bir rumuz seçerek uygun tanıtım bilgileriyle www.sinavbankasi.org veya www.sınavbankası.com sitesinden erişebileceğiniz yeni forumumuza üye olunuz.

Web sitemizde adı geçen lisanslı program ve dosyalar sunucumuzda tutulmaz. Adres bağlantıları (linkler) alıntı olup varsa mülkiyeti size ait, ama usülsüz yüklenmiş içeriği bildirirseniz gereği hemen yapılacaktır.

Yazışmalarda ana dilimizin doğru kullanımı, saygı ve nezaket kurallarına uyum beklenerek hassasiyetle takip edilmektedir. Sorularınızı, takip kolaylığı için bir mesajda en çok üç tane olacak şekilde, daha önce gönderilmiş olanların devamı olarak değil ayrı başlıklarda, konusunu da matematiğin hangi alanı içinde olduğunu belirterek yine www.sinavbankasi.org veya www.sınavbankası.com adreslerinden ulaşabileceğiniz yeni forumumuzun doğru bölümlerine yazınız ve tam anlaşılabilmesi için uygun şekilde parantez kullanınız.

Problemlerinizi hiçbir karşılık düşüncesi gözetmeksizin çok kısıtlı zamanlarından fedakârlıkla çözen sayın hocalarımıza hürmet gösterilmesi de bilhassa beklenmekte olup kurallara uymayanların mesajları ve gerekirse üyelikleri silinmektedir.
Giriş yap

Şifremi unuttum

En son konular
» Trigonometri Soruları - 1
Paz Mayıs 28, 2017 3:53 pm tarafından Honore

» Sayma İlkeleri
C.tesi Mart 11, 2017 8:37 am tarafından Honore

» Doğal Sayılar
C.tesi Ekim 15, 2016 9:39 am tarafından Honore

» Trigonometrik İşlem - Özdeşlikler (2 Soru)
Salı Ekim 11, 2016 10:05 am tarafından Honore

» PERMÜTASYON
Çarş. Eyl. 21, 2016 7:46 am tarafından Honore

» Trigonometrik Denklem
Çarş. Eyl. 07, 2016 11:27 am tarafından Honore

» TRİGONOMETRİ - soru çözümleri6 (paylaşım)
Ptsi Eyl. 05, 2016 11:21 am tarafından Honore

» Ters Fonksiyonların Türevleri (3 soru)
Çarş. Ağus. 31, 2016 10:57 am tarafından Honore

» İntegral (3 soru)
Çarş. Tem. 13, 2016 10:08 am tarafından Honore

» Olasılık
Perş. Haz. 30, 2016 8:57 am tarafından Honore

» Olasılık
Paz Haz. 12, 2016 12:16 pm tarafından Honore

» OLASILIK
Cuma Nis. 22, 2016 11:32 am tarafından Honore

» TÜREV
Çarş. Ocak 27, 2016 1:06 pm tarafından Honore

» Permütasyon - Sayma İlkeleri
Çarş. Ocak 06, 2016 12:06 pm tarafından Honore

» EBAS ve EKÜS Toplamı
Paz Ara. 13, 2015 1:06 pm tarafından Honore

» Matris, Lineer Cebir (4 soru)
Çarş. Ara. 02, 2015 10:59 am tarafından Honore

» Doğal Sayılar (2 Soru)
Perş. Ekim 22, 2015 9:50 am tarafından Honore

» Çift Doğal sayılar Toplamı
Salı Ekim 20, 2015 7:44 am tarafından Honore

» bölme
Perş. Ağus. 27, 2015 1:36 pm tarafından Honore

» çokgende açı
C.tesi Ocak 10, 2015 7:43 am tarafından ozlem77

» çemberin analitiği
Paz Ocak 04, 2015 12:20 pm tarafından Honore

» Sayıların Terslerinin Toplamının Minimum Değeri
Ptsi Ekim 27, 2014 2:31 pm tarafından Honore

» Doğrunun Analitiği
Çarş. Mart 12, 2014 10:03 am tarafından Honore

» Polinomlarda Bölme ve Kalan
Salı Şub. 25, 2014 12:14 pm tarafından Honore

» Basit Faiz
Perş. Şub. 13, 2014 2:03 pm tarafından Honore

» Üçüncü Derece Denklem
Ptsi Ocak 27, 2014 12:26 pm tarafından Honore

» Karmaşık Sayılarda Logaritma
Ptsi Ocak 20, 2014 12:17 pm tarafından Honore

» Güvender Yayınları 11. Sınıf Matematik Soru Bankası Çözümleri
Paz Ocak 12, 2014 10:27 am tarafından Honore

» Polinom
Cuma Kas. 08, 2013 2:58 pm tarafından Honore

» Trigonometri
Salı Kas. 05, 2013 12:48 pm tarafından Honore

» Doğrunun Analitiği
Ptsi Ekim 28, 2013 12:11 pm tarafından Honore

» karede açı sorusu
C.tesi Ekim 26, 2013 12:11 pm tarafından Honore

» Tek veya Çift Bilinmeyenli Denklemle Yaş Problemi Çözümü
C.tesi Ekim 19, 2013 12:53 pm tarafından Honore

» Parabollerin Teğeti
Çarş. Ekim 16, 2013 12:34 pm tarafından Honore

» Düzgün Beşgende Açı
Ptsi Ekim 14, 2013 2:02 pm tarafından Honore

» Birim Katsayılı Doğrusal Denklem Çözümünde Kombinasyon Kullanımı
Çarş. Ekim 02, 2013 10:47 am tarafından Honore

» Karmaşık Sayılarda Toplama
Ptsi Eyl. 30, 2013 8:51 am tarafından Honore

» Toplam Sembolü - İspat
Paz Eyl. 15, 2013 7:58 am tarafından Mesut MUTLU

» ikinci derece denklem
Paz Eyl. 01, 2013 11:51 am tarafından Honore

» Karede Uzunluk
Cuma Ağus. 23, 2013 11:13 am tarafından Honore

» Üçgende Açı
Cuma Ağus. 09, 2013 11:29 am tarafından Honore

» Logaritmik Denklem
Çarş. Tem. 24, 2013 11:51 am tarafından Honore

» Kompleks Sayının Kuvveti
Ptsi Tem. 22, 2013 7:50 pm tarafından Honore

» Üçgende Uzunluk
Ptsi Tem. 22, 2013 7:27 pm tarafından Honore

» modüler aritmetik
Ptsi Tem. 22, 2013 11:46 am tarafından Honore

» Dik Üçgende Açı
Çarş. Tem. 17, 2013 11:14 am tarafından Honore

» TAŞINIYORUZ ...
Salı Tem. 09, 2013 1:33 pm tarafından superkiz_zehra

» Üçgende Açı
Cuma Haz. 28, 2013 8:05 am tarafından Honore

» Köklü Sayılar (4 Soru)
Paz Haz. 23, 2013 7:27 am tarafından Honore

» Ters Fonksiyon ve Görüntü Kümesi
C.tesi Haz. 01, 2013 2:51 pm tarafından Honore

» 10. Sınıf MEB Geometri Ders Kitabı
Salı Mayıs 21, 2013 6:37 am tarafından nisanyağmur

» Matris ve Determinant Ders Notları
Ptsi Mayıs 13, 2013 6:18 am tarafından forumcu3

» ALTIN ORAN
Perş. Mayıs 09, 2013 6:47 pm tarafından Mesut MUTLU

» dik üçgen
Perş. Mayıs 09, 2013 6:45 pm tarafından Mesut MUTLU

» İntegral
Paz Mayıs 05, 2013 8:24 pm tarafından Honore

» Artık Sorularınızı Bu Siteye Yükleyin Kalıcı olsun.
Paz Mayıs 05, 2013 10:49 am tarafından anilder

» Bazı İktisat - Ekonomi Kitapları (Çoğunlukla İngilizce)
C.tesi Mayıs 04, 2013 10:48 am tarafından Honore

» Trigonometrik Limit
C.tesi Mayıs 04, 2013 9:20 am tarafından Honore

» İntegral
Cuma Mayıs 03, 2013 2:28 pm tarafından Honore

» Mutlak Değerli Üçüncü Derece Denklem
Perş. Mayıs 02, 2013 11:25 am tarafından Honore

» Türevde Dönüm (Büküm) Noktası (Inflection Point)
Perş. Mayıs 02, 2013 10:51 am tarafından Honore

» Dörtgende Alan
Çarş. Mayıs 01, 2013 2:06 pm tarafından Honore

» Düzgün Altıgende Açı
Salı Nis. 30, 2013 1:51 pm tarafından Honore

» Dairede Alan
Ptsi Nis. 29, 2013 2:35 pm tarafından Honore

» İntegral Soruları
Ptsi Nis. 29, 2013 6:03 am tarafından anilder

» İntegral Çözümleri (1983 - 1998), (2006 - 2010) ve (2010 - 2012)
Paz Nis. 28, 2013 11:42 am tarafından Honore

» A T A T Ü R K ve Matematik
Paz Nis. 28, 2013 8:00 am tarafından Honore

» Çemberin Analitiği
C.tesi Nis. 27, 2013 12:19 pm tarafından Honore

» Lüzumsuz Bilgiler Ansiklopedisi
C.tesi Nis. 27, 2013 10:00 am tarafından Honore

» II. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler Çıkmış ÖSS Soruları ve Çözümleri
Cuma Nis. 26, 2013 8:23 pm tarafından esrakont

» Trigonometrik İntegral (ve Türev)
Perş. Nis. 25, 2013 2:23 pm tarafından Honore

» Dikdörtgende Uzunluk
Perş. Nis. 25, 2013 10:31 am tarafından Honore

» 2011 LYS MATEMATİK SORULARI
Perş. Nis. 25, 2013 9:59 am tarafından Honore

» 2011 LYS GEOMETRİ SORULARI
Perş. Nis. 25, 2013 9:57 am tarafından Honore

» 57. Piyade Alayı
Perş. Nis. 25, 2013 6:21 am tarafından Honore

» En İyi (Kazandıran) Meslekler 2013 Sıralaması
Çarş. Nis. 24, 2013 12:08 pm tarafından Honore

» Trigonometri (Üçgende Açı) - Fonksiyon (Periyot) (2 soru)
Çarş. Nis. 24, 2013 11:54 am tarafından Honore

» 23 Nisan Kutlu Olsun
Salı Nis. 23, 2013 6:55 am tarafından Honore

» Limit
C.tesi Nis. 20, 2013 9:59 am tarafından Honore

» Ters Trigonometrik Fonksiyon İntegrali
C.tesi Nis. 20, 2013 8:36 am tarafından Honore

» Üstel Trigonometrik Fonksiyon Limiti
Cuma Nis. 19, 2013 9:23 am tarafından Honore

» DÜNYANIN BÜTÜN ÇİÇEKLERİNİ...
Cuma Nis. 19, 2013 7:48 am tarafından Honore

» Üçgenler (4 soru)
Perş. Nis. 18, 2013 2:32 pm tarafından Honore

» Doğrunun Analitiğinde Simetri
Çarş. Nis. 17, 2013 11:08 am tarafından Honore

» Trigonometrik Ters Dönüşüm, Toplam ve Fark Formülleri Uygulaması
Çarş. Nis. 17, 2013 9:52 am tarafından Honore

» Trigonometrik İntegral
Salı Nis. 16, 2013 11:38 am tarafından Honore

» Teğet Eğimi
Salı Nis. 16, 2013 8:34 am tarafından Honore

» Sitemizdeki İsim Değişikliği
Paz Nis. 14, 2013 9:02 pm tarafından Mesut MUTLU

» Olasılık - Hipotez Testi
Paz Nis. 14, 2013 11:53 am tarafından akcagil

» TUSİ-1.Kademe Matematik Olimpiyat Eğitim Kampı
C.tesi Nis. 13, 2013 8:24 pm tarafından Mesut MUTLU

Kimler hatta?
Toplam 8 kullanıcı online :: 0 Kayıtlı, 0 Gizli ve 8 Misafir :: 2 Arama motorları

Yok

Sitede bugüne kadar en çok 268 kişi Ptsi Mart 07, 2011 5:57 pm tarihinde online oldu.
Matematikçiler Facebook
Matematikçiler Facebook Sayfası Tıklayınız

Modüler Aritmetik

Önceki başlık Sonraki başlık Aşağa gitmek

Modüler Aritmetik

Mesaj tarafından Honore Bir Çarş. Mart 14, 2012 2:09 pm

http://forum.sinavbankasi.org/index.php?topic=3746.0
8x + 2x ≡ 3 (mod 5) denkliğini sağlayan en büyük 2 basamaklı doğal sayı nedir?

Benim arşivde cevapsız ve çözümsüz duruyormuş, http://mathforum.org Ask Dr.Math'den sayın Dr.Anthony (many thanks to him) aşağıda birkaç eklemeyle çevirmeğe çalıştığım ve konuya yeni başlamış öğrenciler için yararlı olabilecek ayrıntılı bir çözüm yolladı (benzeri sorularda da kullanılabilecek bir yaklaşım olarak düşünülebilir). Onun altında da emin olamadığım için gönderip sorduğum kendi amatör çözümüm var. Belki zamanları olursa ilgilenebilecek sayın hocalarımızdan veya üyelerimizden da yorumlar yahut değişik çözümler gelebilir.

(8-5)x + (2 - 5)x ≡ 3 (mod 5)

3x + (-3)x ≡ 3 (mod 5)....(I)

x 'in herhangi bir tek değeri için (I) eşitliğinin sol tarafı sıfır olur.
x 'in herhangi bir çift değeri için (I) eşitliğinin sol tarafı 2(3x) olur....(II)

32 ≡ 4 (mod 5) ≡ (4 - 5) (mod 5) = (-1) (mod 5)

Böylece n,

çift olmak üzere (32)n ≡ 1 (mod 5) => (32)4 = 38 ≡ 1 (mod 5)

tek olmak üzere (32)n ≡ -1 (mod 5) => (32)5 = 310 ≡ -1 (mod 5) => 2(310) ≡ -2 (mod 5)

yazılabilir ve (II) nedeniyle 2(310) ≡ 3 (mod 5) olarak da gösterilebileceğinden 2(32)5 ≡ 3 (mod 5) olur.

Buna göre, 2(32)tek kuvvet ≡ 3 (mod 5) ve x/2 tek ise 2(32)x/2 ≡ 3 (mod 5) yazılır. Böylece, x/2 doğal tek sayı olacak şekilde büyük iki basamaklı x değeri gerektiğinden x'in çift ama 4 ile BÖLÜNEMEME şartı nedeniyle 98 bulunur.




Notlar:
1) Sayın Akçagil Hocam, aşağıda açıklayarak gösterdiğiniz ve hiç bilmediğim bu orijinal yöntem için çok teşekkür ederim, eksik olmayın sevgili öğretmenim, hürmetler.

2)
Nevfer demiş ki:Üç tane sayı buluyorum, oldukça teorik bir çözüm ile... Çözümü vermeyeyim, başka üyeler, bilhassa yukarıdaki çalışmalarına bakılırsa Honore Hocam uğraşabilir diye ve muhtemelen bir çözüm çıkartacaktır sanırım.Smile

Sayın Nevfer Hocam, şu "Sayılar Teorisi"nden zaten oldum olası kaçmışımdır ama bazen cesur ve enerjik bir zamanıma denk gelirse oturup çözüm için debelendiğim oluyor. Bakayım, belki bir kahramanlığım tutarsa deneyeceğim Smile (sizlerin incelemeleri arasında kalabalık yapmamak için buraya yazıyorum Smile sevgiler, hürmetler kıymetli öğretmenim.


En son Honore tarafından Perş. Ağus. 13, 2015 10:20 am tarihinde değiştirildi, toplamda 3 kere değiştirildi
avatar
Honore
Kurucu Yardımcısı (Deputy Admin)

Mesaj Sayısı : 2017
NERDEN : Lara - Antalya

http://www.tstonramp.com/~macleod/moodylk.htm

Sayfa başına dön Aşağa gitmek

Geri: Modüler Aritmetik

Mesaj tarafından akcagil Bir Perş. Mart 15, 2012 8:31 am

avatar
akcagil
Ordinaryus
Ordinaryus

Mesaj Sayısı : 901
NERDEN : İstanbul

Sayfa başına dön Aşağa gitmek

Geri: Modüler Aritmetik

Mesaj tarafından akcagil Bir Perş. Mart 15, 2012 9:29 am

avatar
akcagil
Ordinaryus
Ordinaryus

Mesaj Sayısı : 901
NERDEN : İstanbul

Sayfa başına dön Aşağa gitmek

Geri: Modüler Aritmetik

Mesaj tarafından Nevfer Bir Cuma Mart 16, 2012 1:03 pm

Üç tane sayı buluyorum, oldukça teorik bir çözüm ile... Çözümü vermeyeyim, başka üyeler, bilhassa yukarıdaki çalışmalarına bakılırsa Honore Hocam uğraşabilir diye ve muhtemelen bir çözüm çıkartacaktır sanırım.Smile

Şamil Hocam, vaktiniz varsa izninizle bir soru soracaktım özelden. Bir soruyla baş edemedim de. Mevzûu tam bilmediğimden... Sizin bir bilginiz vardır sanırım. Teşekkürler.Smile

Nevfer
Ordinaryus
Ordinaryus

Mesaj Sayısı : 619
NERDEN : İstanbul

Sayfa başına dön Aşağa gitmek

Geri: Modüler Aritmetik

Mesaj tarafından akcagil Bir Cuma Mart 16, 2012 1:25 pm

Tabii Nevfer Hocam. Yardım edebileceğim bir mevzu ise severek yardımcı olurum.
avatar
akcagil
Ordinaryus
Ordinaryus

Mesaj Sayısı : 901
NERDEN : İstanbul

Sayfa başına dön Aşağa gitmek

Geri: Modüler Aritmetik

Mesaj tarafından Honore Bir Salı Nis. 03, 2012 6:15 pm

Sayın hocalarım, bu soruyu kalemle çözmek için uğraştım ama pratik bir yoldan halledemeyince basit bir Fortran programıyla en azından sonucu göreyim bari dedim ve sadece 12 çıktı. Bunun üzerine yine http://mathforum.org 'dan bir fikir almaya çalıştım. Yine sağ olsun sayın Dr. Anthony (many thanks to him) aşağıdaki açıklamayı yapmış (görebildiğim kadarıyla benim bilgisayara yaptırdığımı elle deneyerek bulmayı önermiş):

The quickest way is often by direct trial and error, at least for small values of x.

3^x = 75 + 97y

3^x - 75 = 97y

[3^x - 75] / 97 = y

Write down powers of 3, subtract 75 and divide by 97.  Result must be an integer.

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049, 177147, 531441

3^12 = 75 (mod 97)

3^x = 66 mod 109

[3^x - 66] / 109 = y   and y an integer.

3^12 =  66 (mod 109)

So  x = 12 satisfies both congruences.  <-----


Fortran ile çözüm:

http://illiweb.com/fa/pbucket.gif
http://img696.imageshack.us/img696/7302/moduler.gif

Artık durumu sizlere arz ediyorum. Sevgiler, hürmetler. Very Happy


En son Honore tarafından Çarş. Ekim 01, 2014 5:08 pm tarihinde değiştirildi, toplamda 2 kere değiştirildi
avatar
Honore
Kurucu Yardımcısı (Deputy Admin)

Mesaj Sayısı : 2017
NERDEN : Lara - Antalya

http://www.tstonramp.com/~macleod/moodylk.htm

Sayfa başına dön Aşağa gitmek

Geri: Modüler Aritmetik

Mesaj tarafından akcagil Bir Salı Nis. 03, 2012 9:23 pm

Başta Honore ve Nevfer hocalarım olmak üzere, soruyla ilgilenen herkese çok teşekkür ederim. Eksik olmayınız.

http://illiweb.com/fa/pbucket.gif
http://img208.imageshack.us/img208/2840/ramg.jpg
avatar
akcagil
Ordinaryus
Ordinaryus

Mesaj Sayısı : 901
NERDEN : İstanbul

Sayfa başına dön Aşağa gitmek

Geri: Modüler Aritmetik

Mesaj tarafından Honore Bir Çarş. Nis. 04, 2012 8:50 am

Çok teşekkürler sayın Akçagil Hocam. Şu iki işlemi anlayamadım, uygun bir zamanınızda sizden öğrenebilirsem çok sevinirim:

348 ≡ 1 mod 97

366 ≡ 1 mod 109

Bir de, 66 sayısını bulamadım çünkü teoreme göre 109 - 1 = 108 için mümkün olan x değerleri {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108} olmalı.
avatar
Honore
Kurucu Yardımcısı (Deputy Admin)

Mesaj Sayısı : 2017
NERDEN : Lara - Antalya

http://www.tstonramp.com/~macleod/moodylk.htm

Sayfa başına dön Aşağa gitmek

Geri: Modüler Aritmetik

Mesaj tarafından Nevfer Bir Çarş. Nis. 04, 2012 9:11 am

Honore demiş ki:Sayın hocalarım, bu soruyu kalemle çözmek için uğraştım ama pratik bir yoldan halledemeyince basit bir Fortran programıyla en azından sonucu göreyim bari dedim ve sadece 12 çıktı. Bunun üzerine yine http://mathforum.org 'dan bir fikir almaya çalıştım. Yine sağ olsun sayın Dr. Anthony (many thanks to him) aşağıdaki açıklamayı yapmış (görebildiğim kadarıyla benim bilgisayara yaptırdığımı elle deneyerek bulmayı önermiş):

Tabiî belli bir deneme yapmak gerekiyor Honore Hocam, ama belli noktaları; ilk en ufak x çözümünü ve sayının ilgili moddaki mertebesini (Fermat'ın teoremi her zaman en küççük üssü vermeyeceğinden)...
Şamil Hocam yanlışlıkla yazmış olmalı; 3^27=1 (109)

Şamil Hocam'ın çözümüyle hemen hemen aynı benim çözüm:
Bu (denklik) sisteminin çözümü ilk (ortak) çözümü 12'dir.
Ve mertebe, a^x=1'i sağlayan en küçük x sayısıdır.  Hocamın da dediği gibi Fermat gereği, 3^108=1 ve 108'in bölenleri 1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,54,108 olduğundan en küçük 1 denkliğini sağlayan üs-mertebe 27'dir.

Benzer olarak; 3^96=1 ve 96'nın bölenleri 1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96 olduundan en küçük üs -mertebe 48'dir.

x, aynı x olduğundan okek(27,48)=432'dir. Öyleyse ilk 12 çözümünden sonra her 432 birimde bulunan sayı birer (ortak) çözümdür;
12
12+432=444
444+432=876 şeklindedir.

Hürmetler, selâmlar her ikinize de, teşekkürler.


En son Nevfer tarafından Çarş. Nis. 04, 2012 9:25 am tarihinde değiştirildi, toplamda 1 kere değiştirildi

Nevfer
Ordinaryus
Ordinaryus

Mesaj Sayısı : 619
NERDEN : İstanbul

Sayfa başına dön Aşağa gitmek

Geri: Modüler Aritmetik

Mesaj tarafından akcagil Bir Çarş. Nis. 04, 2012 9:16 am

Evet 108 için 3¹²mod109= 66 ve 3²⁷mod109= 1 şeklinde olmalı. Çözüm doğru ancak bu kısmını yanlış yazmışım. Bu durumda x=12+27t oluyor.

Denklikleri nasıl bulduğumuz konusu: Örneğin 48 modu için. 48 in bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 olduğundan önce
3¹mod48= 3
3²mod48= 9
3³mod48= 27
3⁴mod48= 33
denkliklerini yazarız. Bunları hesaplamak kolay. 3⁶mod48 için ise 3²mod48 ile 3⁴mod48= 33 ü çarpıyoruz. Yani sadece kalanları. Bu şekilde diğerlerini de çarpıp istediğimizi elde ediyoruz.

Saygı ve sevgilerimle.
avatar
akcagil
Ordinaryus
Ordinaryus

Mesaj Sayısı : 901
NERDEN : İstanbul

Sayfa başına dön Aşağa gitmek

Geri: Modüler Aritmetik

Mesaj tarafından Honore Bir Çarş. Nis. 04, 2012 12:21 pm

Çok değerli öğretmenlerim, Allah razı olsun eksik olmayın. Sevgiler, hürmetler.
avatar
Honore
Kurucu Yardımcısı (Deputy Admin)

Mesaj Sayısı : 2017
NERDEN : Lara - Antalya

http://www.tstonramp.com/~macleod/moodylk.htm

Sayfa başına dön Aşağa gitmek

Önceki başlık Sonraki başlık Sayfa başına dön


 
Bu forumun müsaadesi var:
Bu forumdaki mesajlara cevap veremezsiniz